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<title>Seilstatik</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Seilstatik</h1>

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</div>

Die Seilstatik (engl. rope statics) ist ein Fachgebiet der <a href="Technische_Mechanik" title="Technische Mechanik">technischen Mechanik</a>, das sich mit der <a href="Statik_(Mechanik)" title="Statik (Mechanik)">Statik</a> von <a href="Seil" title="Seil">Seilen</a> oder seilähnlichen Strukturen wie <a href="Kette" title="Kette">Ketten</a> befasst. Deren Verhalten unter statischen Belastungen, die aus <a href="Kraft" title="Kraft">Einzelkräften</a>, <a href="Streckenlast" title="Streckenlast">Streckenlasten</a> oder der <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> bestehen, ist Gegenstand der Seilstatik. Auch <a href="Windlast" title="Windlast">Windlasten</a> können bedeutsam sein, was der Einsturz der <a href="Tacoma-Narrows-Br%C3%BCcke" title="Tacoma-Narrows-Brücke">Tacoma-Narrows-Brücke</a> 1940 zeigte.

Anwendung findet die Seilstatik beispielsweise bei <a href="Seilbahn" title="Seilbahn">Seilbahnen</a>, <a href="Kabelkran" title="Kabelkran">Kabelkränen</a>, <a href="Freileitung" title="Freileitung">Frei-</a> oder <a href="Oberleitung" title="Oberleitung">Oberleitungen</a> und <a href="H%C3%A4ngebr%C3%BCcke" title="Hängebrücke">Hängebrücken</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_der_Seile">Eigenschaften der Seile</h2></div>

In der Modellvorstellung der Seilstatik sind Seile biegeschlaff und dehnstarr.<a href="#cite_note-2">[1.1]</a><a href="#cite_note-4">[2.1]</a> Alle Strukturen, bei denen diese Annahmen in guter Näherung zutreffen, werden idealisiert und zusammenfassend als „Seile“ bezeichnet.

Biegeschlaffheit bedeutet, dass Seile ausschließlich <a href="Zugkraft" title="Zugkraft">Zugkräfte</a> übertragen können, die wie im Bild <a href="Tangential" class="mw-redirect" title="Tangential">tangential</a> zur Seillinie sind. Im Seil wirken einzig und allein über seinen Querschnitt verteilte <a href="Normalspannung" class="mw-redirect" title="Normalspannung">Normalspannungen</a> (σ1,2, rot), deren Summe, die inneren Kräfte S1,2 (blau), senkrecht auf dem Querschnitt tangential zu den Seilfasern (schwarz strichpunktiert) wirken. Ausgeschlossen ist demnach die Einprägung von <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">scherenden</a> <a href="Querkraft" title="Querkraft">Querkräften</a>, <a href="Biegemoment" title="Biegemoment">Biege-</a> und <a href="Torsionsmoment" title="Torsionsmoment">Torsionsmomenten</a>.

<a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnstarrheit</a> bedeutet, dass die Längenänderung des Seils unter Belastung vernachlässigt oder als unbedeutend klein angenommen wird. Allerdings gilt dies nur für Zugkräfte, stauchende <a href="Druckkraft" class="mw-redirect" title="Druckkraft">Druckkräfte</a> können Seile in axialer Richtung nicht aufnehmen. Aus Gründen der Vereinfachung werden Seile oft als dehnstarr angenommen, jedoch gibt es auch Beispiele, bei denen die elastische Seildehnung eine nicht unwesentliche Rolle spielt. In diesen Fällen werden Seile als dehnbar angenommen.

Der in Seilen vorliegende scherungsfreie <a href="Spannungszustand" title="Spannungszustand">Spannungszustand</a> nutzt das Tragverhalten von zugfesten Materialien optimal aus. So liefern die in der Seilstatik ermittelten Seillinien optimale Bauformen für <a href="Bogen_(Architektur)" title="Bogen (Architektur)">Bögen</a> – <a href="St%C3%BCtzlinie" title="Stützlinie">Stützlinien</a> – unter der gegebenen Belastung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines">Allgemeines</h2></div>

Auch wenn Seile keine Querkräfte übertragen können, die mit einer Scherung einhergehen, so können gespannte Seile doch quer zum Seil wirkende Lasten aufnehmen, in Zugkräfte umwandeln und an den <a href="Widerlager_(Bautechnik)" title="Widerlager (Bautechnik)">Seilaufhängepunkten</a> abtragen, siehe Bild.

Der Bildteil a zeigt eine ein Tal überspannende <a href="H%C3%A4ngebr%C3%BCcke" title="Hängebrücke">Hängebrücke</a>. Der Bildteil b ist der zur Brücke gehörende Lageplan mit angreifenden Kräften und Maßen. Während die Funktion y(x) die Seillinie definiert, steht η(x) für die Durchhangkurve, die den vertikalen Abstand zwischen dem Seil und der Verbindungslinie der Aufhängepunkte angibt. Bildteil c stellt ein <a href="Freischneiden" class="mw-redirect" title="Freischneiden">freigeschnittenes</a> Stück des <a href="Tragseil" title="Tragseil">Tragseils</a> dar. Zu sehen ist die Seilkraft S und ihre Horizontal- und Vertikalkomponenten H bzw. V, jeweils am positiven rechten und negativen linken Schnittufer, sowie Maße des (infinitesimal) kleinen Seilstücks.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Seillinie">Seillinie</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Kettenlinie_(Mathematik)" title="Kettenlinie (Mathematik)">Kettenlinie</a></div>

Aus Bildteil c kann die allgemeine Bestimmungsgleichung für die Seillinie abgeleitet werden. Wenn die Streckenlast q wie im Bild nur in vertikaler Richtung wirkt, ergibt das <a href="Gleichgewicht_(Statik)" class="mw-redirect" title="Gleichgewicht (Statik)">Gleichgewicht</a> in x-Richtung: H(x+dx) − H(x) = 0. Das hat zur Konsequenz:

<pre>Wenn die Streckenlast q nur in vertikaler Richtung wirkt, dann ist die Horizontalkomponente H der Seilkraft konstant.

</pre>

Weil die Belastung durch Eigengewicht und andere Gewichtskräfte am weitesten verbreitet ist, wird im Folgenden eine in vertikaler Richtung wirkende Belastung angenommen.

Aus dem Gleichgewicht in y-Richtung ergibt sich:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {V(x+dx)-V(x)-q(x)dx=0\quad \rightarrow \quad V'(x):=\lim \limits _{dx\to 0}{\frac {V(x+dx)-V(x)}{dx}}=q(x).}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62723d74b7b04dc93ccd4a99b08a3e66daafb2fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:77.339ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {V(x+dx)-V(x)-q(x)dx=0\quad \rightarrow \quad V'(x):=\lim \limits _{dx\to 0}{\frac {V(x+dx)-V(x)}{dx}}=q(x).}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Weil die Seilkraft überall tangential zur Seillinie arbeitet, lässt sich die Steigung der Seillinie auch mit den Kraftkomponenten ausdrücken:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {y'={\frac {V}{H}}\quad \rightarrow \quad y''={\frac {V'}{H}}={\frac {q}{H}}.}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5016f0fbd37922ee55987bdce9240aae42387214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.202ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {y'={\frac {V}{H}}\quad \rightarrow \quad y''={\frac {V'}{H}}={\frac {q}{H}}.}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zweimalige Integration liefert die Seillinie:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathsf {y'(x)={\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}q(\xi )\,d\xi +C_{1}}}\\&{\mathsf {\rightarrow \quad y(x)={\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\xi }q(\chi )\,d\chi \,d\xi +C_{1}x+C_{0}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5f55019111d8218c8f5fc1d501eff1fb76d2f3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.366ex; margin-bottom: -0.306ex; width:45.578ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathsf {y'(x)={\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}q(\xi )\,d\xi +C_{1}}}\\&{\mathsf {\rightarrow \quad y(x)={\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\xi }q(\chi )\,d\chi \,d\xi +C_{1}x+C_{0}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Durchhangkurve η(x) ist die Differenz zwischen der Seillinie und der Geraden zwischen den Aufhängepunkten:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {\eta (x)=y(x)-{\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}x-y_{0}\quad \rightarrow \quad \eta (0)=\eta (L)=0.}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68445b05c807c07d974dfccf39bc4f9f41cb26a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:52.624ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {\eta (x)=y(x)-{\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}x-y_{0}\quad \rightarrow \quad \eta (0)=\eta (L)=0.}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist y0 die Höhe des Lagers bei x = 0 und yL die Höhe des Lagers bei x = L. Der maximale Durchhang ist bei

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {\eta '(x)=y'(x)-{\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}=0.}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8c4cf656acaaa0a450f0d77b6d166c341ae00b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.222ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {\eta '(x)=y'(x)-{\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}=0.}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nach dem <a href="Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung" title="Mittelwertsatz der Differentialrechnung">Mittelwertsatz der Differentialrechnung</a> gibt es einen solchen Ort zwischen den Aufhängepunkten. Bei ungleichhohen Aufhängepunkten ist die Extremstelle der Durchhangkurve η(x) nicht dort, wo das Seil eine waagerechte Tangente hat (bei y'(x) = 0.) Der tiefste Punkt der Seillinie y(x) befindet sich an der Stelle mit y'(x) = 0, falls es sie gibt, oder an einem der Ränder, siehe Bild.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Seilkräfte">Seilkräfte</h3></div>

Aus der Seillinie ergeben sich die Seilkräfte

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {V(x)=Hy'(x)\quad \rightarrow \quad S(x)={\sqrt {H^{2}+V^{2}(x)}}=H{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}.}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ce92c489b3a72cee51e17ed6b49d1536fd62a7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:60.104ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {V(x)=Hy'(x)\quad \rightarrow \quad S(x)={\sqrt {H^{2}+V^{2}(x)}}=H{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}.}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<pre>Die maximale Seilkraft ist dort, wo das Seil die betraglich größte Steigung hat, was in einem der Aufhängepunkte der Fall ist, sofern die Belastung des Seils überall nach unten wirkt.

</pre>

Die tiefste Stelle des Seils ist entweder an den Seilenden oder dort, wo

<li>der Vertikalzug V(x) einen Nulldurchgang hat,</li>

<li>die Seilkraft im Minimum ist und</li>

<li>die Seilkraft mit dem Horizontalzug übereinstimmt.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anpassung_an_Vorgaben">Anpassung an Vorgaben</h3></div>

Die bisher vorliegenden Gleichungen für die Seillinie und die Seilkraft machen keine Aussagen über die Integrationskonstanten C0,1 sowie den Horinzontalzug H und reichen daher für die <a href="Auslegung_(Technik)" title="Auslegung (Technik)">Auslegung</a> eines Seils im konkreten Anwendungsfall nicht aus; vielmehr müssen diese drei Unbekannten C0,1 und H durch entsprechende (Rand-)Bedingungen bestimmt werden, um daraus die Seillinie und die Kraft im Seil eindeutig festzulegen. Diese Unbekannten können natürlich <a href="Explizite_Definition" class="mw-redirect" title="Explizite Definition">explizit vorgegeben</a> werden, zumeist werden sie jedoch durch andere Angaben implizit vorgeschrieben, beispielsweise durch

<ul><li>den maximalen Durchhang,</li>

<li>die maximale Seilkraft oder</li>

<li>die Länge des Seils zwischen den Aufhängepunkten: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l:=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l:=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dd454474fff3b56605e5b7e0d8c9bdd780cdcab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.006ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l:=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx}}}" loading="lazy">.</li></ul>

Während die Bestimmung der Integrationskonstanten noch relativ leicht fällt, bereitet die Berechnung des Horizontalzugs die größeren Schwierigkeiten. Insbesondere die Länge des Seils, obschon eine naheliegende Vorgabe, führt im Allgemeinen auf eine nichtlineare Gleichung, die mit Mitteln der <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen Mathematik</a> gelöst werden muss.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Seil_unter_Einzellast">Seil unter Einzellast</h2></div>

Unter einer Einzellast, gegenüber der die Masse des Seils vernachlässigbar ist, nimmt das Seil eine abschnittsweise gerade Form an, siehe Bild. Wenn mehrere Einzelkräfte am Seil ziehen, entsteht ein Seileck, siehe <a href="Seileckverfahren" title="Seileckverfahren">Seileckverfahren</a>.<a href="#cite_note-5">[2.2]</a>

Die Laterne im Bild halten zwei, von der Laterne aus gesehen im Winkel α bzw. β zur Horizontale ziehende Seilkräfte

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {F_{1}={\frac {G\cos \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea2eff6b816c025ea17d89bd30ae26dc6b6eaac3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.636ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {F_{1}={\frac {G\cos \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}}}" loading="lazy">   und   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {F_{2}={\frac {G\cos \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {F_{2}={\frac {G\cos \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/381fb6aab3525cd26129141a5e1145a5c08d0187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.636ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {F_{2}={\frac {G\cos \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn sich die Laterne an einer Rolle frei auf dem Seil bewegen kann, dann rollt sie in die Gleichgewichtslage F1 = F2, wo die Winkel α und β gleich sind:<a href="#cite_note-2">[1.1]</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {F_{1}=F_{2}={\frac {G}{2\sin \alpha }}.}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c6acb78ea80e44f6c5989e05ffc830718bcc44b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.714ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {F_{1}=F_{2}={\frac {G}{2\sin \alpha }}.}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Denn <a href="Mechanisches_Gleichgewicht" title="Mechanisches Gleichgewicht">Kräftegleichgewicht</a> in x- und y-Richtungen liefert mit den <a href="Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme" title="Formelsammlung Trigonometrie">Additionstheoremen</a> bei gegebenen Winkeln α und β:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {\sum _{i}F_{ix}=}}&{\mathsf {F_{2}\cos \beta -F_{1}\cos \alpha =0}}\\&{\mathsf {\rightarrow \quad F_{2}={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}F_{1}}}\\{\mathsf {\sum _{i}F_{iy}=}}&{\mathsf {F_{1}\sin \alpha +F_{2}\sin \beta -G}}\\=&{\mathsf {F_{1}\sin \alpha +{\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta }}F_{1}-G=0}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec48baf66f9aaa2cf775d0e49dc42c1235b1e6c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.838ex; width:41.8ex; height:22.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {\sum _{i}F_{ix}=}}&{\mathsf {F_{2}\cos \beta -F_{1}\cos \alpha =0}}\\&{\mathsf {\rightarrow \quad F_{2}={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}F_{1}}}\\{\mathsf {\sum _{i}F_{iy}=}}&{\mathsf {F_{1}\sin \alpha +F_{2}\sin \beta -G}}\\=&{\mathsf {F_{1}\sin \alpha +{\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta }}F_{1}-G=0}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

woraus obige Gleichungen folgen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Seil_unter_externer_Streckenlast">Seil unter externer Streckenlast</h2></div>

Eine in guter Näherung konstante externe Streckenlast wirkt auf ein Seil, wenn etwa

<ul><li>am Seil, wie bei <a href="H%C3%A4ngebr%C3%BCcke" title="Hängebrücke">Hängebrücken</a>, an vielen gleichverteilten Punkten dieselbe Last hängt,</li>

<li>das Seil unter Eigengewicht einen nur geringen Durchhang hat oder</li>

<li>ein Seil von zwei Schiffen durch das Wasser gezogen wird (oder ein <a href="Lot_(Schifffahrt)" title="Lot (Schifffahrt)">Handlot</a> bei der Fahrt durch Wasser gezogen wird).</li></ul>

Bei konstanter Streckenlast q(x) = q0 ergibt sich aus <a href="#AllgSeillinie">obiger Formel</a> die Seillinie und Durchhangkurve

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y'(x)=}}&{\mathsf {{\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}q_{0}\,d\xi +C_{1}={\frac {q_{0}}{H}}x+C_{1}}}\\{\mathsf {y(x)=}}&{\mathsf {{\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\xi }q_{0}\,d\chi \,d\xi +C_{1}x+C_{0}={\frac {q_{0}}{2H}}x^{2}+C_{1}x+C_{0}}}\\{\mathsf {\eta (x)=}}&{\mathsf {-{\frac {q_{0}}{2H}}x(L-x)}}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cfab7bfcfdd84e2bc2a0b56314aea77e4e5e8d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.904ex; margin-bottom: -0.267ex; width:58.816ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y'(x)=}}&{\mathsf {{\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}q_{0}\,d\xi +C_{1}={\frac {q_{0}}{H}}x+C_{1}}}\\{\mathsf {y(x)=}}&{\mathsf {{\frac {1}{H}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\xi }q_{0}\,d\chi \,d\xi +C_{1}x+C_{0}={\frac {q_{0}}{2H}}x^{2}+C_{1}x+C_{0}}}\\{\mathsf {\eta (x)=}}&{\mathsf {-{\frac {q_{0}}{2H}}x(L-x)}}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei konstanter Streckenlast stellt sich also eine <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">parabelförmige</a> Seillinie ein. Die <a href="#Seilkräfte">#Seilkräfte</a> lauten:

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msqrt>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

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<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V}}=&{\mathsf {Hy'=q_{0}x+C_{1}H}}\\{\mathsf {S}}=&{\mathsf {H{\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {H^{2}+\left(q_{0}x+C_{1}H\right)^{2}}}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a388e4d75aac1343352e81c219ad85e1505ba8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:39.485ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V}}=&{\mathsf {Hy'=q_{0}x+C_{1}H}}\\{\mathsf {S}}=&{\mathsf {H{\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {H^{2}+\left(q_{0}x+C_{1}H\right)^{2}}}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Seillänge berechnet sich aus dem Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx.}}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx.}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46391bb80a91569a6adf373221bbdfb3d7dc823f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.006ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l=\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx.}}}" loading="lazy"> Mit der <a href="Substitutionsregel" class="mw-redirect" title="Substitutionsregel">Substitution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {z=y'(x)={\tfrac {2n}{L}}x+C_{1}}}}">

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {z=y'(x)={\tfrac {2n}{L}}x+C_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b697e6a1ea7010f6939eb82d937eb5bcd37d11e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:20.806ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {z=y'(x)={\tfrac {2n}{L}}x+C_{1}}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {n={\tfrac {q_{0}L}{2H}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {n={\tfrac {q_{0}L}{2H}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e745a5ac02417466de411640ccfc5cb8412c5f9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.709ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {n={\tfrac {q_{0}L}{2H}}}}}" loading="lazy"> resultiert

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

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</msup>

<msup>

</mrow>

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<mi>arsinh</mi>

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<mi>arsinh</mi>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l}}=&{\mathsf {\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx=\int _{C_{1}}^{C_{1}+2n}{\sqrt {1+z^{2}}}{\frac {L}{2n}}\,dz={\frac {L}{4n}}\left[\operatorname {arsinh} (z)+z{\sqrt {1+z^{2}}}\right]_{C_{1}}^{C_{1}+2n}}}\\=&{\mathsf {{\frac {L}{4n}}{\Big [}(C_{1}+2n){\sqrt {1+(C_{1}+2n)^{2}}}-C_{1}{\sqrt {1+C_{1}^{2}}}}}\\&{\mathsf {\qquad +\operatorname {arsinh} (C_{1}+2n)-\operatorname {arsinh} (C_{1}){\Big ]}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15f3ec11e3d4babe5aa32d181b10d1da6efdf442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.657ex; margin-bottom: -0.181ex; width:82.468ex; height:16.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l}}=&{\mathsf {\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}\,dx=\int _{C_{1}}^{C_{1}+2n}{\sqrt {1+z^{2}}}{\frac {L}{2n}}\,dz={\frac {L}{4n}}\left[\operatorname {arsinh} (z)+z{\sqrt {1+z^{2}}}\right]_{C_{1}}^{C_{1}+2n}}}\\=&{\mathsf {{\frac {L}{4n}}{\Big [}(C_{1}+2n){\sqrt {1+(C_{1}+2n)^{2}}}-C_{1}{\sqrt {1+C_{1}^{2}}}}}\\&{\mathsf {\qquad +\operatorname {arsinh} (C_{1}+2n)-\operatorname {arsinh} (C_{1}){\Big ]}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin bildet arsinh die Umkehrfunktion zum <a href="Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus" title="Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus">Sinus hyperbolicus</a>. Nun liegen also fünf Gleichungen für die Seilkräfte, die Seillinie und -länge vor. Mit der Vorgabe von deren Werten an bestimmten Stellen, insbesondere an den Aufhängepunkten, werden die Integrationskonstanten bestimmt.

Ist beispielsweise das linke Lager bei x = 0 in der Höhe y0 und das rechte Lager bei x = L in der Höhe yL, dann lautet die Seillinie

<mfrac>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {y(x)={\frac {q_{0}}{2H}}x^{2}+\left({\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}-{\frac {q_{0}L}{2H}}\right)x+y_{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43260b2de80f53e25f6d2ed85dd51bc55a8bf36f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.699ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {y(x)={\frac {q_{0}}{2H}}x^{2}+\left({\frac {y_{L}-y_{0}}{L}}-{\frac {q_{0}L}{2H}}\right)x+y_{0}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Seillänge:

<mtr>

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</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

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</msup>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mi>arsinh</mi>

<mi>arsinh</mi>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l}}=&{\mathsf {{\frac {L}{4n}}{\Big [}(m+n){\sqrt {1+(m+n)^{2}}}-(m-n){\sqrt {1+(m-n)^{2}}}}}\\&{\mathsf {\qquad +\operatorname {arsinh} (m+n)-\operatorname {arsinh} (m-n){\Big ]}.}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37e53a32abd26d8f22476d61c36512c72b60937c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.25ex; margin-bottom: -0.255ex; width:56.449ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l}}=&{\mathsf {{\frac {L}{4n}}{\Big [}(m+n){\sqrt {1+(m+n)^{2}}}-(m-n){\sqrt {1+(m-n)^{2}}}}}\\&{\mathsf {\qquad +\operatorname {arsinh} (m+n)-\operatorname {arsinh} (m-n){\Big ]}.}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {m={\tfrac {y_{L}-y_{0}}{L}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {m={\tfrac {y_{L}-y_{0}}{L}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f88134c4f7c05c1208ffd0418dd15905321a72ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.293ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {m={\tfrac {y_{L}-y_{0}}{L}}}}}" loading="lazy"> die Steigung der Verbindungsgerade der Aufhängepunkte.

Wenn dann noch der Horizontalzug H bekannt ist, durch direkte Vorgabe oder nach Berechnung aus einer anderen Größe, lassen sich alle anderen Kräfte und Maße ebenfalls ermitteln. Die Bestimmung des Horizontalzuges ist im Allgemeinen das größte Problem bei der Lösung und der Weg über die Seillänge ist, obwohl aufwändig, so doch naheliegend. Mit <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen Mitteln</a> ist die Lösung jedenfalls möglich.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Seil_unter_Eigengewicht">Seil unter Eigengewicht</h2></div>

Das Eigengewicht ist eine immer vorhandene Belastung von Seilen und hat daher eine besondere Relevanz. Bei nur geringem Durchhang ist die Streckenlast des Seils infolge seines Gewichts etwa konstant und das Seil kann wie im vorangegangenen Abschnitt berechnet werden. Diese Sichtweise verbietet sich mit zunehmendem Durchhang, denn die über der Horizontalen aufgetragene Belastung nimmt zu den Aufhängepunkten immer mehr zu,<a href="#cite_note-6">[2.3]</a> siehe kleines Bild. Im freigeschnittenen Seilstück (siehe Abbildung <a class="mw-selflink-fragment" href="#Allgemeines">oben</a>) bedeutet Gleichgewicht in x-Richtung:

<pre>Weil die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> vertikal zieht, ist der Horizontalzug konstant.

</pre>

In vertikaler Richtung zieht die Gewichtskraft dq = γ A ds, die sich aus der <a href="Wichte" title="Wichte">Wichte</a> γ, der Querschnittsfläche A und der Länge ds zusammensetzt, am Seilstück:

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</msup>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V(x+dx)-\gamma Ads-V(x)}}=&{\mathsf {V(x+dx)-\gamma A{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}-V(x)}}\\=&{\mathsf {V(x+dx)-\gamma A{\sqrt {1+y'^{2}}}dx-V(x)=0}}\\{\mathsf {\rightarrow V'}}:=&{\mathsf {\lim \limits _{dx\to 0}{\frac {V(x+dx)-V(x)}{dx}}=Hy''=\gamma A{\sqrt {1+y'^{2}}}}}\\{\mathsf {\rightarrow y''}}=&{\mathsf {{\frac {\gamma A}{H}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6c8fc8fd0d2654343c769c470ccba50537916e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:71.651ex; height:21.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V(x+dx)-\gamma Ads-V(x)}}=&{\mathsf {V(x+dx)-\gamma A{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}-V(x)}}\\=&{\mathsf {V(x+dx)-\gamma A{\sqrt {1+y'^{2}}}dx-V(x)=0}}\\{\mathsf {\rightarrow V'}}:=&{\mathsf {\lim \limits _{dx\to 0}{\frac {V(x+dx)-V(x)}{dx}}=Hy''=\gamma A{\sqrt {1+y'^{2}}}}}\\{\mathsf {\rightarrow y''}}=&{\mathsf {{\frac {\gamma A}{H}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

denn die Steigung entspricht, wie <a href="#AllgSeillinie">oben gezeigt</a>, dem Verhältnis des Vertikalzugs V zum Horizontalzug H. Zweimalige Integration liefert die mit den <a href="Hyperbelfunktion" title="Hyperbelfunktion">Hyperbelfunktionen</a> sinh und cosh ausgedrückte <a href="Kettenlinie_(Mathematik)" title="Kettenlinie (Mathematik)">Kettenlinie</a>

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y'=}}&{\mathsf {\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}\\{\mathsf {\rightarrow \quad y=}}&{\mathsf {{\frac {H}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)+C_{0}}}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/993ec4f081d306aac5e688c52eb301c2efac2bb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:37.556ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y'=}}&{\mathsf {\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}\\{\mathsf {\rightarrow \quad y=}}&{\mathsf {{\frac {H}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)+C_{0}}}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Länge l des Seils ist

<mtr>

<mtd>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l=}}&{\mathsf {\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=\left[{\frac {H}{\gamma A}}\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)\right]_{0}^{L}}}\\=&{\mathsf {{\frac {H}{\gamma A}}\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}L+C_{1}\right)-{\frac {H}{\gamma A}}\sinh(C_{1})}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1e463880ce55fefe5c4dbc33a0006270d43d562.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.658ex; margin-bottom: -0.18ex; width:47.684ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {l=}}&{\mathsf {\int _{0}^{L}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=\left[{\frac {H}{\gamma A}}\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)\right]_{0}^{L}}}\\=&{\mathsf {{\frac {H}{\gamma A}}\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}L+C_{1}\right)-{\frac {H}{\gamma A}}\sinh(C_{1})}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Kräfte im Seil sind

<msup>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {V=Hy'=H\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2022635d4661a0f587576fe599402e473901a2a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.852ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {V=Hy'=H\sinh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}}" loading="lazy">   sowie   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {S=H{\sqrt {1+y'^{2}}}=H\cosh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}}">

<msqrt>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {S=H{\sqrt {1+y'^{2}}}=H\cosh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43751454a6846eded01deb42ad2ca7ade2605cb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.998ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {S=H{\sqrt {1+y'^{2}}}=H\cosh \left({\frac {\gamma A}{H}}x+C_{1}\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Drei dieser Gleichungen werden zur Bestimmung der unbekannten Integrationskonstanten C0,1 und des Horinzontalzugs H herangezogen. Es werden sich nichtlineare, gekoppelte Bestimmungsgleichungen ergeben, deren Lösung <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> erfolgt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Seil_unter_Einzellast_und_Eigengewicht">Seil unter Einzellast und Eigengewicht</h2></div>

Bei Seilbahnen kann weder das Eigengewicht des Seils noch das der Kabine vernachlässigt werden, sodass es notwendig ist, Einzellast und Eigengewicht als Belastungen zu kombinieren. Die Seilkräfte vor und hinter der Krafteinleitungsstelle wirken jeweils tangential zum Seil und müssen im Gleichgewicht mit der Einzellast sein. Das ist nur möglich, wenn an der Stelle der Einzelkraft ein Knick in der Seillinie ist, die dort dann nicht <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbar</a> ist, siehe Bild. Also müssen die Seilstücke vor und hinter der Einzelkraft im Punkt P getrennt betrachtet werden.

Das erste Seilstück wird im x1-y1-System behandelt und läuft vom Lager im Ursprung bis zum Punkt P. Das zweite Seilstück bekommt das x2-y2-System, startet in P und endet im Lager mit den Koordinaten (L2,yL). Der gemeinsame Punkt P hat demnach die Koordinaten (L1,y1) im linken Teilstück bzw. (0,y2) im rechten. In beiden Bereichen gelten die im vorigen Abschnitt hergeleiteten Seillinien:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y_{1}=}}&{\mathsf {{\frac {H_{1}}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H_{1}}}x_{1}+C_{1}\right)+C_{0}}}\\{\mathsf {y_{2}=}}&{\mathsf {{\frac {H_{2}}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H_{2}}}x_{2}+C_{3}\right)+C_{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c341182d7a99efd440cab3ca49f2bcaeb83a28e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:33.726ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y_{1}=}}&{\mathsf {{\frac {H_{1}}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H_{1}}}x_{1}+C_{1}\right)+C_{0}}}\\{\mathsf {y_{2}=}}&{\mathsf {{\frac {H_{2}}{\gamma A}}\cosh \left({\frac {\gamma A}{H_{2}}}x_{2}+C_{3}\right)+C_{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Unbekannten Horizontalzüge H1,2 und Integrationskonstanten C0,1,2,3 bestimmen sich aus den Randbedingungen an den Seilenden und im Punkt P:

<th>Randbedingung</th>

<th>Gleichung

</th></tr>

<tr>

<td>Höhe des Lagers links:</td>

<td>y1(0)=y0

</td></tr>

<tr>

<td>Höhe des Lagers rechts:</td>

<td>y2(L2)=yL

</td></tr>

<tr>

<td>Durchhang in P:</td>

<td>y1(L1)=y2(0)

</td></tr>

<tr>

<td>Horizontales Kräftegleichgewicht in P:

</td>

<td>H1=H2+Fx

</td></tr>

<tr>

<td>Vertikales Kräftegleichgewicht in P:

</td>

<td>H1y'1(L1)+Fy=H2y'2(0)

</td></tr>

<tr>

<td>Seillänge:</td>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l=\int _{0}^{L_{1}}{\sqrt {1+y_{1}'^{2}}}\,dx_{1}+\int _{0}^{L_{2}}{\sqrt {1+y_{2}'^{2}}}\,dx_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad028aac48978765ceaf6733bd9817f45651b77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:39.448ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {\textstyle l=\int _{0}^{L_{1}}{\sqrt {1+y_{1}'^{2}}}\,dx_{1}+\int _{0}^{L_{2}}{\sqrt {1+y_{2}'^{2}}}\,dx_{2}}}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Die <a href="Luftseilbahn_Schw%C3%A4galp%E2%80%93S%C3%A4ntis" title="Luftseilbahn Schwägalp–Säntis">Luftseilbahn Schwägalp–Säntis</a> führt von der <a href="Schw%C3%A4galp" title="Schwägalp">Schwägalp</a> zur Bergstation auf dem <a href="S%C3%A4ntis" title="Säntis">Säntis</a>, siehe Bild. Im Internet sind technische Daten<a href="#cite_note-7">[3]</a> und genaue topographische Karten<a href="#cite_note-8">[4]</a> verfügbar. Die Daten der Seilbahn sind in der Tabelle zusammengestellt.

<th>Größe</th>

<th>Einheit

</th></tr>

<tr>

<td>Gewicht der Tragseile</td>

</td></tr>

<tr>

<td>Bruchkraft der Tragseile</td>

</td></tr>

<tr>

<td>Tragseilspanngewicht pro Fahrbahn</td>

<td>kg

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Bruttogewicht" class="mw-redirect" title="Bruttogewicht">Bruttogewicht</a> der Kabine</td>

<td>kg

</td></tr>

<tr>

<td>Ort der Talstation (x,y)</td>

<td>m

</td></tr>

<tr>

<td>Ort der ersten Stütze (x,y)</td>

<td>m

</td></tr>

<tr>

<td>Ort der zweiten Stütze (x,y)</td>

<td>m

</td></tr>

<tr>

<td>Ort der Bergstation (x,y)</td>

<td>m

</td></tr></tbody></table>

Es soll geklärt werden, zu welchem Teil die Bruchkraft der Seile ausgeschöpft wird, wenn die senkrecht nach unten hängende Kabine 1000 m in horizontaler Richtung zurückgelegt hat, also wie im Bild kurz vor der ersten Stütze ist. Reibverluste sollen vernachlässigbar sein.

Weil alle Kräfte in vertikaler Richtung wirken, ist der Horizontalzug im ganzen Seil konstant. Pro Fahrbahn sind zwei Tragseile gespannt, sodass sich die Spann- und Kabinengewichte auf zwei Seile verteilen. Mit der <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a> von 9,81 m/s2 ergibt sich die Seilkraft S0 in der Talstation, die Einzelkraft F und die Streckenlast zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {S_{0}=}}&{\mathsf {{\frac {98{.}000\,kg}{2}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=481\,kN}}\\{\mathsf {F=}}&{\mathsf {{\frac {15{.}890\,kg}{2}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=78\,kN}}\\{\mathsf {q_{0}=}}&{\mathsf {12{,}3{\frac {kg}{m}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=121\,{\frac {N}{m}}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d920d38b36e73e058baf956c1efbcf717ace9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.171ex; width:33.883ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {S_{0}=}}&{\mathsf {{\frac {98{.}000\,kg}{2}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=481\,kN}}\\{\mathsf {F=}}&{\mathsf {{\frac {15{.}890\,kg}{2}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=78\,kN}}\\{\mathsf {q_{0}=}}&{\mathsf {12{,}3{\frac {kg}{m}}\cdot 9{,}81{\frac {m}{s^{2}}}=121\,{\frac {N}{m}}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Unbekannten in den im vorigen Abschnitt ausgearbeiteten Seillinien lauten hier

<th>Vorgabe</th>

<th>Gleichung

</th></tr>

<tr>

<td>Ort P der Einzelkraft</td>

<td>L1 = 1000 m

</td></tr>

<tr>

<td>Abstand von P zum rechten Lager</td>

<td>L2 = 170 m

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>Höhe des Lagers links</td>

<td>y1(0) = 1351 m

</td></tr>

<tr>

<td>Höhe des rechten Lagers</td>

<td>y2(L2) = 1900 m

</td></tr>

<tr>

<td>Durchhang in P</td>

<td>y1(L1) = y2(0)

</td></tr>

<tr>

<td>Seilkraft im linken Lager</td>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {H{\sqrt {1+y_{1}'(0)^{2}}}=S_{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13d33a49e7a4953f8b29170c69df79ee695750bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:19.569ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {H{\sqrt {1+y_{1}'(0)^{2}}}=S_{0}}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Vertikales Kräftegleichgewicht in P

</td>

<td>H y'2(0) = H y'1(L1) + F

</td></tr></tbody></table>

Die Seillänge wird nicht benötigt. Weil ein nur geringer Durchhang beobachtet wird, wird die Gewichtskraft als konstante Streckenlast angenommen, sodass vor und hinter der Kabine die <a href="#Seil_unter_externer_Streckenlast">Seillinien</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {y_{1}(x_{1})={\frac {q_{0}}{2H}}x_{1}^{2}+C_{1}x_{1}+C_{0}\quad {\text{und}}\quad y_{2}(x_{2})={\frac {q_{0}}{2H}}x_{2}^{2}+C_{3}x_{2}+C_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59bb750f8c77614604dd7a3a6036230dab35cb83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:63.883ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {y_{1}(x_{1})={\frac {q_{0}}{2H}}x_{1}^{2}+C_{1}x_{1}+C_{0}\quad {\text{und}}\quad y_{2}(x_{2})={\frac {q_{0}}{2H}}x_{2}^{2}+C_{3}x_{2}+C_{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gelten. Für die Bestimmung der Unbekannten C0,1,2,3 und H stehen die fünf Gleichungen aus der Tabelle zur Verfügung:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y_{1}(0)=}}&{\mathsf {C_{0}=y_{0}}}\\{\mathsf {y_{2}(L_{2})=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{2H}}L_{2}^{2}+C_{3}L_{2}+C_{2}=y_{L}}}\\{\mathsf {y_{1}(L_{1})=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{2H}}L_{1}^{2}+C_{1}L_{1}+C_{0}=y_{2}(0)=C_{2}}}\\{\mathsf {S_{0}=}}&{\mathsf {H{\sqrt {1+C_{1}^{2}}}}}\\{\mathsf {HC_{3}=}}&{\mathsf {H\left({\frac {q_{0}}{H}}L_{1}+C_{1}\right)+F}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fdc909204f10cad9de6697ebe579e18f2e81c27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.005ex; width:42.321ex; height:23.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {y_{1}(0)=}}&{\mathsf {C_{0}=y_{0}}}\\{\mathsf {y_{2}(L_{2})=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{2H}}L_{2}^{2}+C_{3}L_{2}+C_{2}=y_{L}}}\\{\mathsf {y_{1}(L_{1})=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{2H}}L_{1}^{2}+C_{1}L_{1}+C_{0}=y_{2}(0)=C_{2}}}\\{\mathsf {S_{0}=}}&{\mathsf {H{\sqrt {1+C_{1}^{2}}}}}\\{\mathsf {HC_{3}=}}&{\mathsf {H\left({\frac {q_{0}}{H}}L_{1}+C_{1}\right)+F}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dieses Gleichungssystem hat für H>0 die Lösung:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {H=}}&{\mathsf {p-{\sqrt {p^{2}-q}}=462\,kN}}\\{\mathsf {C_{0}=}}&{\mathsf {y_{0}=1351\,m}}\\{\mathsf {C_{1}=}}&{\mathsf {{\frac {H(y_{L}-y_{0})-M}{LH}}=0{,}2914}}\\{\mathsf {C_{2}=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}L_{1}^{2}}{2H}}+L_{1}C_{1}+y_{0}=1773\,m}}\\{\mathsf {C_{3}=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{H}}L_{1}+C_{1}+{\frac {F}{H}}=0{,}7223}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8628e54832edbf8853db0d937d2d7e584fe0caf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.171ex; width:33.792ex; height:25.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {H=}}&{\mathsf {p-{\sqrt {p^{2}-q}}=462\,kN}}\\{\mathsf {C_{0}=}}&{\mathsf {y_{0}=1351\,m}}\\{\mathsf {C_{1}=}}&{\mathsf {{\frac {H(y_{L}-y_{0})-M}{LH}}=0{,}2914}}\\{\mathsf {C_{2}=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}L_{1}^{2}}{2H}}+L_{1}C_{1}+y_{0}=1773\,m}}\\{\mathsf {C_{3}=}}&{\mathsf {{\frac {q_{0}}{H}}L_{1}+C_{1}+{\frac {F}{H}}=0{,}7223}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {L=}}&{\mathsf {L_{1}+L_{2},\quad M={\frac {q_{0}}{2}}L^{2}+FL_{2},}}\\{\mathsf {p=}}&{\mathsf {{\frac {M(y_{L}-y_{0})}{L^{2}+(y_{L}-y_{0})^{2}}}\quad {\text{und}}\quad q={\frac {M^{2}-L^{2}S_{0}^{2}}{L^{2}+(y_{L}-y_{0})^{2}}}.}}\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7e14f96bc30e83c4762a052ec0d29b57f48bf41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.338ex; width:49.695ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {L=}}&{\mathsf {L_{1}+L_{2},\quad M={\frac {q_{0}}{2}}L^{2}+FL_{2},}}\\{\mathsf {p=}}&{\mathsf {{\frac {M(y_{L}-y_{0})}{L^{2}+(y_{L}-y_{0})^{2}}}\quad {\text{und}}\quad q={\frac {M^{2}-L^{2}S_{0}^{2}}{L^{2}+(y_{L}-y_{0})^{2}}}.}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Am Ort der Kabine berechnen sich damit die <a href="#Seil_unter_externer_Streckenlast">Vertikalzüge</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V_{1}(L_{1})=}}&{\mathsf {q_{0}L_{1}+C_{1}H=256\,kN\quad (261\,kN)}}\\{\mathsf {V_{2}(0)=}}&{\mathsf {C_{3}H=334\,kN\quad (339\,kN)}}\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67f17125a88c1014d7b2c5e5f82f1b6d5569503e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.073ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {V_{1}(L_{1})=}}&{\mathsf {q_{0}L_{1}+C_{1}H=256\,kN\quad (261\,kN)}}\\{\mathsf {V_{2}(0)=}}&{\mathsf {C_{3}H=334\,kN\quad (339\,kN)}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Seilkräfte

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {S_{1}(L_{1})}}=&{\mathsf {{\sqrt {H^{2}+V_{1}^{2}(L_{1})}}=528\,kN\quad (531\,kN)}}\\{\mathsf {S_{2}(0)}}=&{\mathsf {{\sqrt {H^{2}+V_{2}^{2}(0)}}=570\,kN\quad (574\,kN)}}\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40622e8a5fecaa65e04452590c3f54e153af7404.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:44.811ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {S_{1}(L_{1})}}=&{\mathsf {{\sqrt {H^{2}+V_{1}^{2}(L_{1})}}=528\,kN\quad (531\,kN)}}\\{\mathsf {S_{2}(0)}}=&{\mathsf {{\sqrt {H^{2}+V_{2}^{2}(0)}}=570\,kN\quad (574\,kN)}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Bruchkraft von 2350 kN wird in P nur zu etwa einem Viertel ausgenutzt. In Klammern sind die mit der <a href="#Seil_unter_Eigengewicht">Kettenlinie</a> berechneten Seilkräfte verzeichnet. Sie liegen sämtlich höher als die hier berechneten, die Abweichungen sind aber kleiner als 3 %.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li>↑ Jürgen Dankert, Helga Dankert: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik</cite>. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 5. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0177-7 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=as-Cv7rKQikC&pg=PA157">google.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Seilstatik&rft.au=J%C3%BCrgen+Dankert%2C+Helga+Dankert&rft.btitle=Technische+Mechanik&rft.date=2009&rft.edition=5.+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783835101777&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none">

<ol class="mw-subreference-list"><li id="cite_note-2">↑ <a href="#cite_ref-2">a</a> <a href="#cite_ref-2-1">b</a> S. 157

</li>

</ol></li>

<li>↑ D. Gross, W. Hauger, P. Wriggers: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik 4</cite>. Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. 9. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40999-8, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-41000-0">10.1007/978-3-642-41000-0</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Seilstatik&rft.au=D.+Gross%2C+W.+Hauger%2C+P.+Wriggers&rft.btitle=Technische+Mechanik+4&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-41000-0&rft.edition=9.+Aufl.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642409998&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer+Vieweg+Verlag" style="display:none">

<ol class="mw-subreference-list"><li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> S. 168

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> S. 172

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> S. 173

</li>

</ol></li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://saentisbahn.ch/schwebebahn/technische-daten/">Luftseilbahn Schwägalp-Säntis.</a> (PDF) Technischer Beschrieb. Säntis-Schwebebahn AG, Januar 2016, abgerufen am 28. Dezember 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASeilstatik&rft.title=Luftseilbahn+Schw%C3%A4galp-S%C3%A4ntis&rft.description=Luftseilbahn+Schw%C3%A4galp-S%C3%A4ntis&rft.identifier=https%3A%2F%2Fsaentisbahn.ch%2Fschwebebahn%2Ftechnische-daten%2F&rft.publisher=S%C3%A4ntis-Schwebebahn+AG&rft.date=2016-01">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://map.geo.admin.ch/?topic=ech&lang=de&bgLayer=ch.swisstopo.pixelkarte-farbe&layers=ch.swisstopo.zeitreihen,ch.bfs.gebaeude_wohnungs_register,ch.bav.haltestellen-oev,ch.swisstopo.swisstlm3d-wanderwege&layers_visibility=false,false,false,false&layers_timestamp=18641231,,,&X=235212.44&Y=743030.50&zoom=9">Topographische Karte der Trasse.</a> Bundesamt für Landestopografie swisstopo, abgerufen am 28. Dezember 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASeilstatik&rft.title=Topographische+Karte+der+Trasse&rft.description=Topographische+Karte+der+Trasse&rft.identifier=https%3A%2F%2Fmap.geo.admin.ch%2F%3Ftopic%3Dech%26lang%3Dde%26bgLayer%3Dch.swisstopo.pixelkarte-farbe%26layers%3Dch.swisstopo.zeitreihen%2Cch.bfs.gebaeude_wohnungs_register%2Cch.bav.haltestellen-oev%2Cch.swisstopo.swisstlm3d-wanderwege%26layers_visibility%3Dfalse%2Cfalse%2Cfalse%2Cfalse%26layers_timestamp%3D18641231%2C%2C%2C%26X%3D235212.44%26Y%3D743030.50%26zoom%3D9&rft.publisher=Bundesamt+f%C3%BCr+Landestopografie+swisstopo">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="https://doi.org/10.1002/stab.202200048" class="extiw external" title="doi:10.1002/stab.202200048">Jan Gade, Ekkehard Ramm, Karl-Eugen Kurrer, Manfred Bischoff: Marc Biguenets Beitrag zur Berechnung der Seilnetztragwerke für die Olympischen Spiele 1972.</a> In: Stahlbau 91 (2022), H. 9, S. 612–621, ISSN 1437-1049.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-11-25" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Seilstatik&oldid=261866312">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</div></div>

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</body></html>